Zahnräder und Zahnradgetriebe

Zahnräder und Zahnradgetriebe
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Wälzlagerungen		Achsen, Wellen und Zapfen

Nähmaschinengetriebe der Firma Singer Baujahr 1972

Funktion und Wirkung

Zahnradgetriebe bestehen aus einem oder mehreren Zahnradpaaren. Es gibt geschlossene und offene Getriebe. Geschlossene Getriebe überwiegen. Zahnradgetriebe haben einen hohen Wirkungsgrad bei kompakter Bauweise.

Nachteilig ist die starre Kraftübertragung durch den Formschluss bei Getrieben (elastische Kupplungen vorsehen). Unerwünschte Schwingungen können durch bessere Verzahnungsqualität reduziert werden.

Die folgende Tabelle zeigt eine Übersicht der wichtigsten Getriebearten mit Merkmalen:

Getriebeart			Funktionsfläche	Lage der Achsen	Kontaktart
Wälz- getriebe	Stirnrad- getriebe		Zylinder	Parallel Σ=0 a>0	Linie
	Kegelrad- getriebe		Kegel	sich schneidend Σ>0 (meist Σ=90°) a=0	Linie
Schraub- wälz- getriebe	Stirnrad- schraub- getriebe		Zylinder	sich kreuzend Σ>0 a>0	Punkt
	Kegelrad- schraub- getriebe		Kegel	sich kreuzend Σ=90° a>0	Punkt
Schraub- getriebe	Schnecken- getriebe		Zylinder und Globoid	sich kreuzend Σ=90° a>0	Linie

Zahnräder

Um eine formschlüssige Kraftübertragung zwischen nicht fluchtenden Wellen zu realisieren, werden Zahnräder benutzt. Jedes Zahnrad weist eine Links- und Rechtsflanke auf. Entsprechend der Drehrichtung werden sie zu einer Arbeits- oder Rückflanke. Die Arbeitsflanken des treibenden und des getriebenen Zahnrades berühren sich im Eingriffspunkt (beim treibenden Rad vom Zahnfuß bis zum Zahnkopf und umgekehrt beim getriebenen Rad), wobei dieser wandert. Flankenspiel ist zwischen den Rückflanken vorhanden. Ein gegebenes Zahnrad bestimmt mit seiner Verzahnung die Verzahnung des Gegenrades.

Die Funktionsfläche eines Zahnrades ist eine gedachte Fläche um die Radachse ohne Zähne. Bei einem Zahnradpaar wälzen die Funktonsflächen aufeinander ab, wenn sie die gleiche Relativbewegung machen. Die geometrischen Bestimmgrößen der Verzahnung werden auf die Bezugsfläche bezogen, welche normalerweise gleichzeitig die Funktionsfläche ist.

Hyperboloidräder bilden bei den Zahnradpaaren den allgemeinen Fall, von denen sich in vereinfachter Form alle Zahnradpaarungen ableiten lassen

Die Abbildung zeigt: a) Zahn mit Flankenprofil b) Arbeits- und Rückflanken

Frage 1: Welche Unterschiede gibt es bei Zahnradgetrieben und was sind ihre Vor- und Nachteile? Lösung

Getriebearten

Ein Zahnradgetriebe besteht aus einem oder mehreren Zahnradpaaren. In einem Getriebe wird die Drehrichtung, die Drehzahl und das Drehmoment umgewandelt. Dies kann in mehreren Getriebestufen geschehen.
Die Getriebebauarten werden nach der Lage der Radachsen bzw. der Wellen eines Zahnradpaares und der Richtung der Flanken nach DIN 868 in Wälzgetriebe und Schraubwälzgetriebe unterschieden.

Stirnradgetriebe		Kegelrad mit Geradverzahnung		Stirnschraubgetriebe		Kegelradschraubgetriebe		Globoidschneckengetriebe		Kegelplanrad		Zahnstange		Innenradpaar

Wälzgetriebe

Die Wälzgetriebe unterteilen sich in Stirnradgetriebe und Kegelradgetriebe.

Allgemeines:

• In den Funktionsflächen tritt reines Wälzen auf
  
• Radpaare bzw. Radachsen (Wellen) in einer Ebene, also parallel oder schneiden sich (meist) im 90° Winkel
  
• Kontakt ist linienförmig
  

Stirnradgetriebe

• Paarung zweier außen- oder innenverzahnter Stirnräder
  
• Funktionsfläche ist jeweils ein Wälzzylinder
  
• Übersetzung je Radpaar üblicherweise i ≤ 6 (i_max = 8…10)
  
• Sonderfall: Die Zahnstange hat einen unendlich großen Durchmesser
  

Kegelradgetriebe

• Paarung zweier Kegelräder mit Gerad- oder Schrägverzahnung
  
• Funktionsfläche ist ein Wälzkegel
  
• Übersetzung i_max ≈ 6
  
• Berührung der Zahnflanken ist linienförmig
  
• Grenzfall ist das außenverzahnte Kegelrad = Kegelplanrad, dessen Funktionsfläche senkrecht zur Radachse (Welle) ist
  

Schraubwälzgetriebe

Die Schraubwälzgetriebe unterteilen sich in Stirnschraubgetriebe und Kegelradschraubgetriebe

Allgemeines:

• Radachsen (Wellen) kreuzen sich nicht in einer Ebene
  
• Funktionsflächen sind Hyperboloide
  
• Wälzen sich bei Drehung unter gleichzeitigem Gleiten (Verschieben) längs ihrer gemeinsamen Berührungslinie aufeinander ab
  
• Die Verzahnungen beider Räder liegen in den hyperbolischen Funktionsflächen
  
• Zahnräder können als hyperbolische Stirnräder (Kehlräder) oder als hyperbolische Kegelräder ausgeführt sein
  
• Durch gekrümmte Funktionsflächen werden die Verzahnungen in der Praxis an Zylinder- bzw. Kegelflächen angenähert
  

Stirnschraubgetriebe

• Die Verzahnung der Zahnräder hat Punktberührung
  
• Die Form wird von den Hyperboloiden an Zylinderflächen angenähert.
  
• Getriebe eignen sich nur für kleine Lasten i_max = 5
  

Kegelradschraubgetriebe

• Kleiner Achsabstand (Wellen) „a“ (z. B. Achsversatz bei Kfz-Getrieben)
  
• Zahnräder werden meist als bogenverzahnte Kegelschraubräder ausgeführt (werden Hypoidräder genannt)
  
• Bei Paarungen dieser Räder kreuzen sich vielfach die Radachsen (Wellen) rechtwinklig
  
• Kontakt ist linienförmig
  

Schraubgetriebe

• Achsen (Wellen) kreuzen sich rechtwinklig
  
• Übersetzung von i_min ≈ 5 bis i_max ≈ 60 (in Ausnahmefällen bis i_max ≈ 100)
  
• Im Eingriffsfeld besteht Linienberührung
  
• Zylindrische oder globoidische Funktionsflächen mit passendem Gegenrad (auch globoidisch)
  

Verzahnungsgesetz

Verzahnungsgesetz

Eine konstant bleibende Übersetzung (i=ω₁/ω₂) ist für den gleichmäßigen Lauf des Zahnradpaares die Vorraussetzung. Als erstes berühren sich die Zähne des treibenden Rades am Zahnfuß und am getriebenen Rad am Zahnkopf im Eingriffspunkt B. Beide Zahnräder drehen sich mit den Winkelgeschwindigkeiten ω₁ = treibendes Rad und ω₂ = getriebenes Rad. Der Eingriffspunkt B wandert auf den Zahnflanken auf der gemeinsamen Normalen n-n. Die gemeinsame Normale n-n läuft durch den Wälzpunkt C, dies ist der Punkt an dem sich beide Wälzkreise W₁ = Wälzkreis treibendes Rad und W₂ = Wälzkreis getriebenes Rad berühren.

Flankenprofile und Verzahnungsarten

Zykloidenverzahnung

Die Zykloiden entstehen durch das Abrollen eines Rollkreises auf einer Wälzgeraden (a) eine Orthozykloide). Die Wälzgerade kann auch rund sein und heißt dann Wälzkreis. Der Rollkreis kann außen ( b) eine Epizykloide) oder innen ( c) eine Hypozykloide) auf dem Wälzkreis abrollen und so eine Zykloide erzeugen.

Die Eingrifflinie setzt sich zusammen aus den Bögen der Rollkreise (Bild a)). Die Eingriffsstrecke, gepunktet (rot) dargestellt, beginnt im Punkt A und endet im Punkt E.

Gleichzeitig, neben einer Wälzbewegung, erfolgt noch eine Gleitbewegung, die aus den unterschiedlichen Längen hervor geht.

Bei diesem Verzahnungstyp ist immer ein konvex gekrümmtes Flankenprofil mit einem konkav gekrümten Flankenprofil im Eingriff. Die Flächenpressung ist durch günstiges Anschmiegen der Zahnflanken aneinander geringer, dadurch gibt es weniger Abnutzung und die Belastbarkeit der Zahnräder steigt.

Bei der Zykloidenverzahnung ist es möglich Zahnräder mit kleinen Zähnezahlen herzustellen (z=3).

Da die Verzahnung immer aus dem Zusammenspiel von zwei Zahnrädern entsteht, gehören diese als Satz zusammen. Möchte man Wechselräder oder Schieberäder realisieren, geht dies nur unter Verwendung gleicher Rollkreise.

Die Zykloidenverzahnung wird nur in Sondergebieten eingesetzt, da ihre Herstellung sehr teuer und schwierig ist. Die Herstellwerkzeuge haben keine geraden Schneidkanten. Die Einsatzgebiete sind z. B. die Feinwerktechnik.

Treibstockverzahnung

Die Triebstockverzahnung ist eine spezielle Form der Zykloidenverzahnung. Durch diese Form entsteht eine Punktverzahnung. Um die Abnutzung zu reduzieren wird der Punkt mit dem Durchmesser d_B vergrößert. Das Ritzel wird an die Triebstockbolzen angepasst.

Anwendungsgebiete sind z. B. Krandrehwerke und Karussels. Bei ihnen sind große Übersetzungen vorhanden.

Evolventenverzahnung

Eine Kreisevolvente wird mit einem Grundkreis und einer Rollgeraden konstruiert. Auf dem Grundkreis wird die Rollgerade abgerollt. Die Bahn, die der Startpunkt beschreibt, ist die Kreisevolvente. In dem Bild kann man die verschiedenen Zwischenpunkte 1 bis 6 sehen. Die Rollgerade ist dabei immer tangential zum Mittelpunkt des Rollkreises.
Bei der Evolventenverzahnung gibt es an jedem Zahn zwei Teile von Kreisevolventen, die den Zahn bilden (rot markiert im Bild20-12b). Die Eingriffslinie ist nach dem Verzahnungsgesetz eine Gerade n-n. Sie berührt die beiden Grundkreise tangential zu den Mittelpunkten der Räder, in den Punkten T₁ und T₂. Der Punkt C liegt auf dem Punkt, wo sich beide Wälzkreise berühren auf der gedachten Linie zwischen den Mittelpunkten der Zahnräder M₁ und M₂. Wenn man im Punkt C eine Linie im 90°-Winkel zeichnet, erhält man die Linie t-t. Der kleine Winkel zwischen den Linien M₁-M₂ und t-t ist der Eingriffswinkel α. Der Winkel α findet sich auch noch an anderen Stellen im Bild wieder (blau markiert).

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Die Linie, die entsteht, wenn zwei Zahnflanken anfangen sich zu berühren, bis zu dem Punkt, wo sie sich nicht mehr berühren, ist die Eingriffslinie. Sie ist abhängig von der Drehrichtung der Zahnräder. Im Bild a) ist die rot gepunktete Linie für die angegebene Drehrichtung und die gestrichelte für den umgekehrten Drehsinn eingezeichnet.
Die Evolventenverzahnung ist, weil ihre Eingriffslinie eine Gerade ist, unempfindlich gegen Achsabstandsänderungen.
Die Verzahnung bei Hohlrädern ist konkav. Im Bild 20-13b kann man einen Teil eines Hohlrad sehen. Die Eingriffsstrecke ist rot markiert.
Zahnräder sollten möglichst eine Zähnezahldifferenz von z₂-z₁ ≤ 10 Zähnen haben. Bei geringerer Zähnezahldifferenz (bei einem Übersetzungsverhältnis nahe i=1) kann es zu Zahnüberschneidungen kommen.
Anwendung der Evolventenverzahnung ist im Maschinenbau, dort wird sie fast ausschließlich verwendet. Die Zahnräder können kostengünstig und relativ einfach hergestellt werden.

Frage 2: Welche unterschiede gibt es zwischen der Evolventen und Zykloidenverzahnung im Bezug auf die Eingriffslinie? Lösung

Bezugsprofil, Herstellung der Evolventenverzahnung

• Bezugsprofil eines Stirnrades ist nach DIN 867 ein festgelegtes Profil mit geraden Flanken
• Bezugsprofil ist durch den Modul m_n festgelegt (m_n = 1 … 70 mm)
• Rad und Gegenrad haben gleiches Bezugsprofil
• Der Kopfkreis des Zahnrades wird durch Verzahnungswerkzeuge nicht bearbeitet
  
  

Zahnradwerkstoffe

Viele Werkstoffe kommen bei der Zahnradherstellung zum Einsatz. Von großer Bedeutung für die Herstellung sind jedoch die Stähle aus technischen und wirtschaftlichen Gründen.
Es ist bei nicht gehärteten Werkstoffen zu vermeiden, dass beide Zahnräder aus dem selben Werkstoff bestehen und somit die gleiche Härte aufweisen. Es besteht dann Fressgefahr, die zu vermeiden ist. Ein möglichst großer Härteunterschied zwischen den Zahnrädern wirkt sich in Bezug auf Verschleiß auf die Dauer günstiger aus.
Sind beide Zahnräder gehärtet und geschliffen oder Besteht die Paarung aus Gusseisen, hat man keine Probleme mit dem Verschleiß. Auch die Paarung ein gehärtetes und ein nicht gehärtetes Zahnrad ist günstig, da durch die Überrollungen eine Kaltverfestigung eintritt.

Es kommen folgende Werkstoffe bei der Herstellung von Zahnrädern zum Einsatz:

• Gusseisen mit Lamellengraphit
• Gusseisen mit Kugelgraphit
• Schwarzer Temperguss
• Stahlguss
• Stähle

Schmierung der Zahnradgetriebe

Die Schmierung soll die Abnutzung der Zahnflanken herabsetzen oder auf ein Mindestmaß begrenzen. Getriebegeräusche und Getriebeerwärmung können ebenfalls durch die Schmierung beeinflußt werden. Damit ein Getriebe gut und lange arbeiten kann, muß gewährleistet werden, dass die Verzahnung mit einem ausreichenden Schmierfilm versorgt wird. Im Wesentlichen kommen in Getrieben Schmieröle und Schmierfette zum Einsatz. Die maximale Getriebetemperatur sollte 80°C nicht übersteigen.

Folgende Arten der Getriebeschmierung gibt es:

• Auftragsschmierung
• Sprühschmierung
• Tauchschmierung
• Spritzschmierung

Getriebewirkungsgrad

Der Gesamtwirkungsgrad setzt sich aus den einzelnen Wirkungsgraden für Lagerung, Dichtung und Verzahnung zusammen.
Verzahnungswirkungsgrade:

Gerad-Stirngetriebe	ηZ bis 0,99
Kegelradgetriebe	ηZ bis 0,98
Stirnradschraubgetriebe	ηZ ≈ 0,50 … 0,95
Schneckengetriebe	ηZ ≈ 0,20 … 0,97

Die Wirkungsgrade der schrägverzahnten Stirnradgetriebe sind ca. 1-2% kleiner gegenüber einer Geradverzahnung.

Aufgaben

Die Aufgaben zum Berechnen wurden mit dem Europa Tabellenbuch 43. Auflage berechnt. Die Abkürzung "EUTB S..." bezieht sich auf diese Ausgabe. In anderen Ausgaben können die Seitenzahlen abweichen.

Beispielaufgabe Nockenwellenantrieb

Die Nockenwelle eines Viertaktmotors dreht sich halb so schnell wie die Kurbelwelle. Sie wird durch einen Zahntrieb von der Kurbelwelle aus angetrieben. Das Zahnrad z₁ auf der Kurbelwelle besitzt 24 Zähne und einen Modul m = 6 mm.

Wie groß muss die Zähnezahl z₃ des Zahnrades auf der Nockenwelle sein?
Wie groß muss die Zähnezahl des Zwischenrades sein, damit der Achsabstand 516 mm zwischen Kurbelwelle und Nockenwelle überbrückt wird?

Lösungsweg:
gegeben: a/b) z₁ = 24 ; m = 6 mm ; a = 516 mm
gesucht: a) z₃ = ?

a) Die Kurbelwelle muß 2 Umdrehungen machen, wenn die Nockenwelle eine Umdrehung ausführt, d. h.:

Für das Zahnrad z₃ sind 48 Zähne ermittelt.

b) Berechnung Teilkreisdurchmesser d₁ und d₃

Mit den ermittelten Durchmessern kann man nun den Teilkreisdurchmesser des Zahnrades d₂wie folgt ermitteln:

Mit dem ermittelten Teilkreisdurchmesser d₂ kann man nun unter zu Hilfenahme des Moduls die Zähneanzahl des Zahnrades berechnen.

Mit der ermittelten Zähnezahl z₂ überprüft man nun noch einmal das Übersetzungsverhältnis.

Das Zahnrad z₂ hat 50 Zähne. Die Gesamtübersetzung ist i_ges = 2. Bei einem Zwischenrad, egal wie groß es ist, kann das Übersetzungsverhältnis i = z₃/z₁ ermittelt werden.

Konstruktionsaufgabe Nockenwellenantrieb Ford P7

Der reparaturanfällige Nockenwellenantrieb des Ford P7 erfolgte über Stirnräder ohne Zwischenrad. Die für den Antrieb notwendige Motorleistung wird anteilig mit 2 kW angenommen.

Gegeben: z₁ = 36; m = 3 mm; n_Motor = 5.000 min^-1

1. Berechnen Sie für den Stirnradantrieb: z₂; d₁; d₂; Achsabstand a; innere Gehäusebauhöhe h bei umlaufend 10mm Abstand
2. Dimensionieren Sie unter Beibehaltung der geometrischen Bedingungen einen vergleichbaren Synchronriemenantrieb. Vereinfachende Annahme: keine zusätzlich angetriebenen Hilfsaggregate.
3. Dimensionieren Sie ein vergleichbares Kettengetriebe mit Einfach-Rollenkette nach DIN 8187 als Steuerkette.

Zweigang-Bohrmaschine

Für die abgebildete Bohrmaschine sollen folgende Werte berechnet werden:
a) Die Drehzahlen der Bohrspindel
b) Die Schnittgeschwindigkeit bei einem Bohrerdurchmesser von 10 mm bei niederster Drehzahl



hier gehts zur Lösung

Seiltrommelantrieb

Für den Seiltrommelantrieb müssen folgende Berechnungen durchgeführt werden:
a) Die Drehfrequenz der Schnecke
b) Die Drehfrequenz der Seiltrommel
c) Die Geschwindigkeit des Seiles in m/s
d) Den Achsabstand a bei Modul m = 4 mm
e) Die Zähnezahl des Schneckenrades z₄



hier gehts zur Lösung

Zahnstangenantrieb

Eine Zahnstange wird durch ein Zahnrad mit z = 32 angetrieben. Modul m = 4 mm.
Wie groß ist der Hub der Zahnstange bei einer Zahnradumdrehung?

hier gehts zur Lösung

Tischverstellung

Ein Tisch einer Maschine kann wie in der Abbildung verstellt werden. Berechnen Sie:

a) Die Zahl der Kurbelumdrehungen für einen Weg von 36 mm
b) Den Weg bei einer Umdrehung der Kurbel.

hier gehts zur Lösung

Übersetzung

Ein Elektromotor treibt über ein zweistufiges Zahnradgetriebe eine Säge an. Die Motordrehfrequenz ist 1440 min^-1, die Säge hat eine Drehfrequenz von 192 min^-1. Die Zahnräder der ersten Stufe haben z₁ = 18 und z₂ = 45 Zähne. Das Zahnrad z₄ hat 42 Zähne.
Berechnen Sie:
a) Die Gesamtübersetzung
b) Die Einzelübersetzungen
c) Die Zähnezahl des Zahnrades z₃

hier gehts zur Lösung

Aufgabensammlung

Die folgenden Dateien ergeben eine komplette Aufgabensammlung mit 55 Aufgaben aus 3 verschiedenen Gebieten. Sie besteht aus 79 Seiten.

Inhaltsverzeichnis besteht aus 4 Seiten
Allgemeine Aufgaben 1-31 besteht aus 8 Seiten
Kfz Aufgaben 1-14 besteht aus 4 Seiten
Drehmoment Aufgaben 1-10 besteht aus 3 Seiten
Lösungen Allgemeine Aufgaben 1-31 besteht aus 35 Seiten
Lösungen Kfz Aufgaben 1-14 besteht aus 15 Seiten
Lösungen Drehmoment Aufgaben 1-10 besteht aus 10 Seiten

Wünsche viel Spaß beim Lösen der Aufgaben.

Ergänzungen 2010

Präsentation 6.11.2010 Zahnräder Mathematische Aufgaben 6.11.2010 Zahnräder

Literatur

Diese Bücher haben mir bei der Lösung vieler Probleme geholfen:

	Roloff/Matek: Maschinenelemente, Lehrbuch und Tabellenbuch; Vieweg Verlag, 18.Auflage, 2007 ,ISBN 978-3-8348-0262-0, Preis € 36,90
	Roloff/Matek: Maschinenelemente, Formelsammlung; Vieweg Verlag, 9.Auflage, 2008, ISBN 978-3-8348-0534-8, Preis € 20,90
	Roloff/Matek: Maschinenelemente, Aufgabensammlung; Vieweg Verlag, 14.Auflage, 2007, ISBN 978-3-8348-0340-5 , Preis € 26,00
	Alfred Böge: Handbuch Maschinenbau; Vieweg Verlag, 18.Auflage, 2007, ISBN 978-3-8348-0110-4 , Preis € 69,90
	Tabellenbuch Metall; Europa Lehrmittel Verlag, 44.Auflage, 2008, ISBN 978-3-8085-1724-6 , Preis € 23,80
	Schierbock: Formeln und Tabellen für metalltechnische Berufe; Bildungsverlag eins, 17.Auflage, 2007, ISBN 978-3-8239-7140-5 , Preis € 13,80
	Hoischen/Hesser: Technisches Zeichnen; Cornelsen Verlag, 31.Auflage, 2008, ISBN 978-3-589-24130-9, Preis € 21,00
	Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau; Springer Verlag, 22.Auflage, 2007, ISBN 978-3-540-49714-1, Preis € 79,95

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