Regression: Unterschied zwischen den Versionen

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Beim [[Experiment]]ieren soll häufig ein vermuteter Zusammenhang von zwei Größen genauer, also quantitativ untersucht werden. Im einfachsten Fall besteht ein linearer Zusammenhang zwischen beiden Größen, der durch das Verfahren der linearen Regression herausgearbeitet werden kann. Am Beispiel der [[Leitfähigkeitsmessung]] einer Salzlösung soll diese Vorgehensweise erklärt werden:
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Beim [[Experiment]]ieren soll häufig ein vermuteter Zusammenhang von zwei Größen genauer, also [[quantitativ]] untersucht werden. Im einfachsten Fall besteht ein linearer Zusammenhang zwischen beiden Größen, der durch das Verfahren der linearen Regression herausgearbeitet werden kann. Am Beispiel der [[Leitfähigkeitsmessung]] einer Salzlösung soll diese Vorgehensweise erklärt werden:
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== Praxisbeispiel ==
 
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=== Leitfrage ===
 
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''Welchen Einfluss hat der Salzgehalt auf die elektrische Leitfähigkeit der Salzlösung?''
 
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=== Durchführung ===
 
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Die Leitfähigkeit der Salzlösung wird durch die Messung der Stromstärke bestimmt (Bild). Es wird vermutet, dass die Stromstärke mit zunehmender Salzmenge größer wird.
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Die Leitfähigkeit der Salzlösung wird durch die Messung der Stromstärke bestimmt (Aufbau s. Bild bzw. [[Media:Leitfaehigkeit.pdf|Versuchsanleitung]]). Es wird vermutet, dass die Stromstärke mit zunehmender Salzmenge größer wird.
  
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=== Messwerte ===
 
=== Messwerte ===
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Alle Messwerte werden zunächst tabellarisch zusammengestellt. Als Diagramm ergibt sich hieraus eine ''Punktwolke''. In der Waagerechten (X-Achse) wird üblicherweise die ''Leitgröße'' aufgetragen, in unserem Fall die Salzmenge in Gramm. Die von der Leitgröße ''abhängige Größe'' wird in der Senkrechten (Y-Achse) aufgetragen, hier die Stromstärke in mA.
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Alle Messwerte werden zunächst tabellarisch zusammengestellt. Als Diagramm ergibt sich hieraus eine ''Punktwolke'' ("Streudiagramm"), bei dem die einzelnen Messwerte [[Theorie|im Normalfall]] ''nicht'' durch eine durchgängige Gerade verbunden werden können.<br />
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'''Ziel der Regression ist es, eine {{mark|Ausgleichsgerade}} durch die Punktwolke zu legen, deren Abstand zu den in der [[Praxis]] aufgenommenen Messwerten möglichst klein ist.'''
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In der Waagerechten (X-Achse) wird üblicherweise die ''Leitgröße'' aufgetragen, in unserem Fall die Salzmenge ''m'' in Gramm. Die von der Leitgröße ''abhängige Größe'' wird in der Senkrechten (Y-Achse) aufgetragen, hier die Stromstärke ''I'' in mA.
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=== Regressionsgerade in Excel berechnen lassen ===
 
=== Regressionsgerade in Excel berechnen lassen ===
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Mit [[Excel]] als "Rechenknecht" kann die Regressionsgerade bequem erstellt werden: Markiere die Datenpunkte, Rechtsklick, "Trendlinie hinzufügen" und "linear" auswählen, Regressionsgerade wird eingezeichnet. Die Funktionsgleichung zur Regressionsgeraden liefert Excel über die Formeln ACHSENABSCHNITT() (= Höhenlage) und STEIGUNG().
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Mit [[Excel]] als "Rechenknecht" kann die Regressionsgerade bequem erstellt werden:
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* Erstelle eine Messwerttabelle (Bild).
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* Markiere genau diese Tabelle (Bild), wähle im Menü <code>Einfügen-Diagramme-Punkt</code>, Diagramm mit Punktwolke wird erstellt.
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* Markiere in der Punktwolke einen der Datenpunkte, Rechtsklick, <code>Trendlinie hinzufügen</code> und "linear" auswählen, Regressionsgerade wird eingezeichnet.
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* Steigung ''m'' der Regressionsgerade liefert Excel über die Funktion <code>STEIGUNG()</code>. Im Feld B14 steht in unserem Fall daher: <code>=STEIGUNG(B2:B9;A2:A9)</code>.
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* Höhenlage ''b'' der Regressionsgeraden liefert Excel über die Funktion <code>ACHSENABSCHNITT()</code>. In Feld B13 steht also: <code>=ACHSENABSCHNITT(B2:B9;A2:A9)</code>.
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*Setzt man diese Werte unter Berücksichtigung der Einheiten in die allgemeine Geradengleichung y&nbsp;=&nbsp;''m''{{*}}x&nbsp;+&nbsp;''b'' ein, ergibt sich der gesuchte quantitative Zusammenhang zwischen Salzmenge und Stromstärke:
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=== Nutzen ===
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Hat man sich einmal die Mühe gemacht, Messwerte experimentell zu bestimmen und hierzu eine Regressionsgerade ermittelt, können durch Ablesen an der Regressionsgeraden oder durch Einsetzen in die Funktionsgleichung zur Regressionsgeraden beliebige weitere Werte ermittelt werden, ohne dass erneut gemessen werden muss, z. B.:
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* Die Untersuchung einer Meerwasserprobe gemäß Versuchsaufbau ergab einen Messwert von 850 mA.<br />Wie hoch ist der Salzgehalt der Probe (in g/L)?<br />[[Regression: Lösung|Lösung]]
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=== Vergleiche ===
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[[Cola#Quantitativer_Zuckernachweis|Bestimmung des Zuckergehaltes in Cola über die Dichte]]
  
 
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* ausführliches [http://www.stat4u.at/download/1424/Regreges.pdf Skript von Marcus Hudec und Christian Neumann]
 
* ausführliches [http://www.stat4u.at/download/1424/Regreges.pdf Skript von Marcus Hudec und Christian Neumann]
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* [[Media:Regression.xls|Excel-Datei mit Übungsbeispiel]]
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* [[Media:Regression.xls|Excel-Datei mit Übungsbeispiel Leitfähigkeitsmessung]]
  
 
[[Kategorie:Informationsverarbeitung]] [[Kategorie:Mathematik]]
 
[[Kategorie:Informationsverarbeitung]] [[Kategorie:Mathematik]]
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[[Kategorie:Chemie]][[Kategorie:Methoden]][[Kategorie:Experiment]]

Aktuelle Version vom 27. August 2023, 10:33 Uhr

Regression
vernetzte Artikel
Experiment elektrische Leitfähigkeit

Beim Experimentieren soll häufig ein vermuteter Zusammenhang von zwei Größen genauer, also quantitativ untersucht werden. Im einfachsten Fall besteht ein linearer Zusammenhang zwischen beiden Größen, der durch das Verfahren der linearen Regression herausgearbeitet werden kann. Am Beispiel der Leitfähigkeitsmessung einer Salzlösung soll diese Vorgehensweise erklärt werden:

Leitfähigkeitsmessung zur Bestimmung des Salzgehaltes
Messwerte

Praxisbeispiel

Leitfrage

Welchen Einfluss hat der Salzgehalt auf die elektrische Leitfähigkeit der Salzlösung?

Durchführung

Die Leitfähigkeit der Salzlösung wird durch die Messung der Stromstärke bestimmt (Aufbau s. Bild bzw. Versuchsanleitung). Es wird vermutet, dass die Stromstärke mit zunehmender Salzmenge größer wird.

Punktwolke aus Messwerttabelle erstellen

Messwerte

Alle Messwerte werden zunächst tabellarisch zusammengestellt. Als Diagramm ergibt sich hieraus eine Punktwolke ("Streudiagramm"), bei dem die einzelnen Messwerte im Normalfall nicht durch eine durchgängige Gerade verbunden werden können.
Ziel der Regression ist es, eine Ausgleichsgerade durch die Punktwolke zu legen, deren Abstand zu den in der Praxis aufgenommenen Messwerten möglichst klein ist.

In der Waagerechten (X-Achse) wird üblicherweise die Leitgröße aufgetragen, in unserem Fall die Salzmenge m in Gramm. Die von der Leitgröße abhängige Größe wird in der Senkrechten (Y-Achse) aufgetragen, hier die Stromstärke I in mA.

Regressionsgerade durch Punktwolke

Regressionsgerade in Excel berechnen lassen

Mit Excel als "Rechenknecht" kann die Regressionsgerade bequem erstellt werden:

  • Erstelle eine Messwerttabelle (Bild).
  • Markiere genau diese Tabelle (Bild), wähle im Menü Einfügen-Diagramme-Punkt, Diagramm mit Punktwolke wird erstellt.
  • Markiere in der Punktwolke einen der Datenpunkte, Rechtsklick, Trendlinie hinzufügen und "linear" auswählen, Regressionsgerade wird eingezeichnet.
  • Steigung m der Regressionsgerade liefert Excel über die Funktion STEIGUNG(). Im Feld B14 steht in unserem Fall daher: =STEIGUNG(B2:B9;A2:A9).
  • Höhenlage b der Regressionsgeraden liefert Excel über die Funktion ACHSENABSCHNITT(). In Feld B13 steht also: =ACHSENABSCHNITT(B2:B9;A2:A9).
  • Setzt man diese Werte unter Berücksichtigung der Einheiten in die allgemeine Geradengleichung y = m · x + b ein, ergibt sich der gesuchte quantitative Zusammenhang zwischen Salzmenge und Stromstärke:


I = 172,9 mA/g · m(NaCl) + 6,4 mA bzw. aufgelöst nach der gesuchten Salzmenge


m(NaCl) = (I – 6,4 mA) · g / 172,9 mA

Nutzen

Hat man sich einmal die Mühe gemacht, Messwerte experimentell zu bestimmen und hierzu eine Regressionsgerade ermittelt, können durch Ablesen an der Regressionsgeraden oder durch Einsetzen in die Funktionsgleichung zur Regressionsgeraden beliebige weitere Werte ermittelt werden, ohne dass erneut gemessen werden muss, z. B.:

  • Die Untersuchung einer Meerwasserprobe gemäß Versuchsaufbau ergab einen Messwert von 850 mA.
    Wie hoch ist der Salzgehalt der Probe (in g/L)?
    Lösung

Vergleiche

Bestimmung des Zuckergehaltes in Cola über die Dichte

Weblinks

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